Cara menyederhanakan ekspresi matematika

Isi

• tahap
• Metode 1 Menghormati urutan operasi
• Metode 2 Menyederhanakan ekspresi yang lebih kompleks

Siswa sering diminta untuk mengurangi ekspresi matematika "ke bentuk paling sederhana" -yaitu, untuk menyederhanakannya sebanyak mungkin. Apa pun yang kasar atau disederhanakan, ekspresinya tetap sama, hanya dalam kasus kedua, itu lebih elegan dan di atas semua itu, lebih mudah untuk ditangani. Kadang-kadang latihan dianggap "selesai" ketika ekspresi dikurangi menjadi ekspresi yang paling sederhana. Itu sebabnya penting untuk mengetahui cara mengurangi ekspresi matematika. Bahkan, ini bahkan merupakan operasi yang hampir konstan. Tapi baca terus!

tahap

Metode 1 Menghormati urutan operasi

1. 
   

   
   Pelajari urutan operasi. Ketika seseorang ingin menyederhanakan ekspresi matematis, ia tidak beroperasi secara idiot dari kiri ke kanan, sesuai dengan apa yang muncul. Beberapa operasi memiliki prioritas di atas yang lain dan harus dilakukan terlebih dahulu. Jika Anda tidak mengikuti pesanan ini, Anda tidak akan mendapatkan hasil yang benar. Urutan operasi adalah: tanda kurung, eksponen, perkalian, pembagian, penambahan dan akhirnya pengurangan. Ini adalah sarana mnemonik untuk mempertahankan urutan ini: pikirkan "PEMDAS": "Karena dikatakan Ma: Tunggu Simone!" (gratis untuk menemukan Anda lebih baik!)
   • Menyenangkan mengetahui urutan ini, dan berguna untuk banyak ekspresi, tetapi kadang-kadang Anda perlu teknik yang lebih rumit untuk disederhanakan, termasuk polinomial. Lihat Metode Dua untuk informasi lebih lanjut.

2. 
   

   
   
   
   Mulailah dengan memperlakukan apa yang ada di dalam tanda kurung. Dalam matematika, ini ada untuk menunjukkan bahwa konten mereka memiliki prioritas di atas elemen lain. Prioritas ini valid terlepas dari operasi di dalamnya. Di sisi lain, tetapi logis, di dalam tanda kurung, menerapkan urutan operasi. Jadi, pertama-tama kita harus membuat multiplikasi, lalu penambahan, dan seterusnya.
   • Misalnya, kita akan menggunakan ekspresi: 2x + 4 (5 + 2) + 3 - (3 + 4/2). Pertama-tama Anda harus menghitung semuanya dalam tanda kurung. 5 + 2 dan 3 + 4/2, yang memberi kita 5 + 2 = 7 dan 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Istilah kedua dalam tanda kurung memberikan 5 karena, pertama, jika kita mengikuti urutan operasi, bagi 4 dengan 2. Jika kita mengambil istilah sebagaimana tercantum dalam urutan, kita menghasilkan 3 + 4 dan kita membaginya dengan 2, yaitu mengatakan bahwa kita mendapatkan 7/2: emas, itu salah!
   • Nota manfaat : jika ada tanda kurung di dalam tanda kurung, kita selalu mulai dengan yang di dalam dan kita berakhir dengan yang di luar.

3. 
   

   
   
   
   Lalu mari kita pergi ke peserta pameran. Sekarang kita telah berurusan dengan tanda kurung, kita harus menyerang eksponen (jika ada tentu saja!) Nomor dengan eksponen mudah dikenali: ada nomor (pangkalan) dan di kanan atas, ditulis dalam huruf kecil , eksponen, juga angka. Lakukan perhitungan secara terpisah, lalu ganti nilainya dengan eksponen dengan nilai yang dihitung.
   • Sekarang kami telah memperlakukan tanda kurung, ekspresi kami sekarang: 2x + 4 (7) + 3 - 5. Satu-satunya istilah dengan eksponen di sini adalah: 3, yang sama dengan 9. Kami mengganti dalam ekspresi dan kami memperoleh: 2x + 4 (7) + 9 - 5.

4. 
   

   
   Ini adalah giliran perkalian! Sekarang, semua operasi multiplikasi harus dilakukan. Tanda penggandaan muncul dalam bentuk yang berbeda: simbol ×, titik, tanda bintang, atau bahkan tidak sama sekali! dengan demikian, 4 (y) adalah perkalian, itu setara dengan 4 x y
   • Ada dua perkalian dalam latihan kami: 2x (2x = 2 × x) dan 4 (7). Karena kita tidak tahu nilai x, kita meninggalkan istilah apa adanya, namun, 4 (7) = 4 × 7 = 28. Persamaannya kemudian menjadi: 2x + 28 + 9 - 5.

5. 
   

   
   Mari kita beralih ke divisi. Seperti tanda penggandaan, tanda pembagian datang dalam berbagai bentuk: simbol ÷, tetapi juga garis miring (/ atau "garis miring", seperti pada 3/4, misalnya - dan garis fraksi horisontal.
   • Dalam contoh kita, tidak ada pembagian (kecuali 4/2 yang terlihat di atas), jadi kita akan melewati langkah ini. Pengamatan ini membutuhkan komentar: kami menerapkan prinsip PEMDAS sejauh operasi tersebut ada dalam ekspresi Anda, jika tidak kami melanjutkan ke operasi berikutnya.

6. 
   

   
   Kemudian tambahkan. Langkah selanjutnya adalah menambahkan semuanya. Kita tentu saja dapat menambahkan dari kiri ke kanan, tetapi terkadang kita dapat melakukan pengelompokan. Misalnya, dengan ekspresi 49 + 29 + 51 + 71, lebih baik membuat 49 + 51 = 100 dan 29 + 71 = 100, yang menghasilkan: 100 + 100 = 200, daripada 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129, dan 129 + 71 = 200.
   • Sebagai hasil dari operasi PEMD, ekspresi kami terlihat seperti: "2x + 28 + 9 - 5". Sekarang kita harus menambahkan apa yang seharusnya - ambil tambahan karena mereka datang dari kiri ke kanan. Anda tidak dapat menambahkan 2x dan 28, karena ada variabel (x tidak dapat ditambahkan sampai Anda tahu nilai numeriknya). Adapun 28 + 9, ini memberi 37. Jika kita menulis ulang ekspresi sekali lagi, kita memiliki: "2x + 37 - 5".

7. 
   

   
   Kurangi. Langkah terakhir dari PEMDAS adalah pengurangan. Anda seharusnya hanya memiliki pengurangan yang tersisa (tetapi ini tidak wajib). Langkah ini bisa dilakukan sebelumnya jika kita menganggap bahwa mengurangi berarti menambahkan angka negatif. Dua operasi terakhir ini (penambahan dan pengurangan) dapat dipertukarkan.
   • Berkat PEMDA, ekspresi kami seperti: "2x + 37 - 5". Sekarang kita akan mengurangi apa yang kita bisa. Kita dapat mengurangi 5 dari 32, yaitu 32 - 5 = 32.

8. 
   

   
   Periksa ekspresi Anda untuk yang terakhir kalinya. Biasanya, pada titik ini, ekspresi Anda dikurangi secara maksimal. Dalam kasus persamaan tertentu dengan yang tidak diketahui (x), Anda memiliki ekspresi yang berkurang tetapi tidak seluruhnya. Itu akan terjadi ketika x diberi nilai numerik. Namun, juga dimungkinkan untuk menyederhanakan persamaan dengan yang tidak diketahui (lihat di bawah).
   • Semua PEMDAS telah diperhitungkan, jawaban akhirnya adalah: "2x + 32". Seseorang tidak dapat menyederhanakan lebih lanjut, karena 32 dan 2x tidak dapat ditambahkan karena adanya variabel, 2x. Ketika kita tahu nilai x, kita bisa menyelesaikan perhitungan. Ketahuilah bahwa itu masih lebih praktis daripada ungkapan aslinya! ekspresi.

Metode 2 Menyederhanakan ekspresi yang lebih kompleks

1. 
   

   
   Tambahkan yang tidak diketahui identik. Jika Anda memiliki yang tidak dikenal dalam ekspresi Anda, ketahuilah bahwa Anda dapat menambahkan, atau mengurangi, tidak dikenal identik dengan eksponen yang sama (atau "istilah identik"): itu bekerja persis dengan angka normal. Mari kita ulangi: yang tidak diketahui harus identik, dan eksponen juga! Misalnya, 7x dan 5x dapat menambahkan, tetapi tidak 7x dan 5x.
   • Aturan ini juga berlaku untuk istilah yang mengandung banyak hal yang tidak diketahui. Misalnya, 2xy dapat ditambahkan ke -3xy, tetapi tidak ke -3xy atau -3y.
   • Mari kita perhatikan ekspresi: x + 3x + 6 - 8x. Di sini kita dapat menambahkan 3x dan -8x karena mereka memiliki kekuatan yang sama. Sederhana, ekspresi menjadi: x - 5x + 6.

2. 
   

   
   Sederhanakan fraksi dengan membagi dengan atau "menghapus" faktor-faktor umum. Pecahan yang hanya menyertakan nilai numerik (ketiadaan yang tidak diketahui), baik pembilang maupun penyebutnya dapat disederhanakan dengan berbagai cara. Metode pertama (mungkin yang paling sederhana): Anda membagi pembilang secara langsung dengan penyebut. Selain itu, jika Anda memiliki produk di bagian atas dan bawah fraksi, dan salah satu istilah muncul di kedua sisi, Anda dapat "menyederhanakan" karena mereka membatalkan (pembagiannya sama dengan 1). Jadi, untuk meringkas, jika kedua istilah hadir di atas dan di bawah bilah fraksi, Anda dapat menghapus keduanya.
   • Misalnya, ambil fraksi 36/60. Jika Anda memiliki kalkulator, lakukan pembagian secara langsung, hasilnya adalah: 0,6. Jika Anda tidak memilikinya, Anda dapat menghapus faktor-faktor umum. Untuk melakukan ini, pisahkan kedua angka Anda menjadi faktor dan lihat apakah ada faktor umum. 36/60 = (6 × 6) / (6 × 10), atau jika Anda lebih suka: 6/6 × 6/10. Karena 6/6 sama dengan 1, ekspresi menjadi 1 × 6/10 = 6/10. Itu belum selesai, karena 6 dan 10 dapat dibagi 2, kita dapatkan 3/5atau 0,6.

3. 
   

   
   Untuk pecahan dengan yang tidak diketahui, itu sama. Lihat apakah tidak ada istilah (dengan yang tidak dikenal) yang umum untuk kedua bagian fraksi. Kita dapat menyederhanakan yang tidak diketahui dengan koefisien dan eksponennya.
   • Mari kita ambil ekspresi (3x + 3x) / (- 3x + 15x). Fraksi ini dapat ditulis dalam bentuk: (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x), 3x muncul di pembilang dan penyebut, sehingga kita bisa menghapusnya di bagian atas dan bawah. Kami kemudian mendapatkan: (x + 1) / (5 - x). Demikian pula, dalam ekspresi (2x + 4x + 6) / 2, semua istilah dapat dibagi 2 Kita dapatkan kemudian: (2 (x + 2x + 3)) / 2, dan selanjutnya: x + 2x + 3.
   • Perhatian! penyederhanaan ini hanya berfungsi jika seseorang memiliki produk faktor di atas, dan juga di bawah. Misalnya, dalam ekspresi (x (x + 2)) / x, kita dapat menyederhanakan dengan "x", yang memberi kita: (x + 2) / 1 = (x + 2). Di sisi lain, dengan (x + 2) / x, kita tidak dapat melakukan apa-apa karena kita memiliki jumlah di bagian atas dan bukan produk. Itu tidak dapat disederhanakan dalam bentuk ini: 2/1 = 2.

4. 
   

   
   Berkembang atau faktor? Dalam beberapa kasus, ketika kita ingin menyederhanakan, seaneh kedengarannya, lebih baik dikembangkan daripada faktorisasi. Tidak ada aturan yang ditetapkan. Hanya dengan kebiasaanlah kita melihat apa yang perlu dilakukan, tujuannya selalu menyederhanakan ungkapan.
   • Misalnya, ekspresi 3 (x + 8), ketika diperluas, memberikan: 3x + 24, sementara 3x + 24x dapat difaktorkan, dan itu akan memberikan: 3x (x + 8).
   • Dalam beberapa kasus, lebih baik untuk menjaga faktor konstan di depan ekspresi dalam tanda kurung. Memang, itu bisa dibawa menghilang. Tidak ada gunanya berkembang terlalu dini, penyederhanaan selalu memungkinkan. Dalam fraksi (3 (x + 8)) / 3x, misalnya, 3 hadir dalam pembilang dan penyebut, sehingga kita dapat menekannya, yang menghasilkan: (x + 8) / x. Masih lebih mudah ditangani daripada (3x + 24x) / 3x, hasil yang akan kita peroleh jika kita telah mengembangkan semuanya.

5. 
   

   
   Sederhanakan dengan anjak piutang. Anjak piutang adalah teknik yang dapat menyederhanakan sebagian kecil dengan terkadang menghilangkan polinomial. Anjak piutang adalah kebalikan dari pengembangan. Ekspresi panjang, jumlah pada umumnya, ditransformasikan menjadi ekspresi yang lebih pendek yang merupakan produk faktor. Faktorisasi ini hanya boleh dilakukan jika, di belakang, ada penyederhanaan (seperti dalam fraksi). Dalam beberapa kasus (paling sering dengan persamaan derajat kedua), anjak piutang juga memungkinkan untuk menemukan akar persamaan lebih cepat dan mudah.
   • Mari kita ambil ekspresi x - 5x + 6. Ekspresi ini dapat diperhitungkan menjadi (x - 3) (x - 2). Jadi, jika nanti, x - 5x + 6 ditemukan dalam pembilang dari pecahan, dan jika kita memiliki (x - 2) dalam penyebut, kita kemudian dapat menyederhanakannya dengan istilah ini. Contoh: kita harus menyederhanakan (x - 5x + 6) / (2 (x - 2)). Kami pertama-tama faktor pembilang, dan kemudian kami menyederhanakan. Dengan kata lain, kita berakhir dengan (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)), kita sederhanakan dengan (x - 2) dan kita memperoleh: (x - 3) / 2.
   • Seperti disebutkan di atas, terkadang ada alasan lain untuk anjak piutang.Memang, manipulasi ini berfungsi untuk menyederhanakan, tetapi juga memungkinkan untuk menyelesaikan persamaan dengan lebih mudah, terutama jika persamaan terakhir ini sama dengan 0. Misalnya, ambil persamaan x - 5x + 6 = 0. Jika salah satu faktor, maka diperoleh: x - 3) (x - 2) = 0. Untuk menyelesaikan persamaan ini, cukup bahwa salah satu istilah sama dengan 0, karena 0 kali x = 0. Oleh karena itu, 3 dan 2 adalah solusinya.